数据的表示与运算：数制编码、整数运算、浮点数标准与大小端存储。

2.1 数制与编码

2.1.1 信息的二进制编码

计算机内部所有信息均采用二进制编码，原因如下：

  • 二进制只有两种基本状态，易于用物理器件实现（高低电平、脉冲有无等）。
  • 二进制编码和运算规则简单，便于电路实现。
  • 两个符号0和1正好与逻辑值“假”和“真”对应，便于实现逻辑运算。

在计算机内部，数值数据的表示有两种：

  • 直接用二进制数表示
  • 采用二进制编码的十进制数（BCD码）

2.1.2 进位计数制

基本概念

  • R进制：使用R个基本符号，遵循“逢R进一”规则，第i位的位权为$R^i$。
  • 常用进制：
    • 二进制（B）：0,1
    • 八进制（O）：0~7
    • 十进制（D）：0~9
    • 十六进制（H）：09,AF

进制转换

  • R进制 → 十进制：按权展开求和。
  • 十进制 → R进制：整数部分除R取余，小数部分乘R取整。
  • 二、八、十六进制互转：二进制三位一组得八进制，四位一组得十六进制；反之亦然。

2.1.3 定点数的编码表示

真值与机器数

  • 真值：带正负号的数（如+1011, -1101）。
  • 机器数：符号数字化的编码（0正1负）。

定点表示

  • 定点小数：小数点固定在数的最左边，用于表示浮点数的尾数。
  • 定点整数：小数点固定在数的最右边，用于表示整数。

原码

  • 定义：最高位为符号位，其余位为数值的绝对值。

    • 正数：
      $$
      [x]{\text{原}} = 0X{n-1}\dots X_0
      $$

    • 负数：
      $$
      [x]{\text{原}} = 1X{n-1}\dots X_0
      $$

  • 表示范围（n位）：
    $$
    [-(2^{n-1}-1),\ 2^{n-1}-1]
    $$
    0有两种表示（+0和-0）。

  • 优点：直观，与真值转换简单。

  • 缺点：加减运算复杂。

补码

  • 定义：

    • 正数：
      $$
      [x]{\text{补}} = [x]{\text{原}}
      $$

    • 负数：
      $$
      [x]_{\text{补}} = 2^n + x
      $$
      （即原码取反加1）

  • 表示范围（n位）：$
    $$
    [-2^{n-1},\ 2^{n-1}-1]
    $$
    0的表示唯一。

  • 特殊值（n位）：

    • $$
      [-1]_{\text{补}} = 1,11\ldots 11
      $$

      （n个1）

    • $$
      [2^{n-1}-1]_{\text{补}} = 0,11\ldots 11
      $$

      （n-1个1）

    • $$
      [-2^{n-1}]_{\text{补}} = 1,00\ldots 00
      $$

      （n-1个0）

  • 原码 ↔ 补码快速转换：从低位向高位找到第一个1，该位及更低位的所有位不变，更高位全部取反（符号位也取反）。

反码

  • 负数的反码 = 原码符号位不变，数值位取反。

移码（阶码）

  • 定义：
    $$
    [x]_{\text{移}} = 2^{n-1} + x
    $$
    （n位），相当于真值加偏置值
    $$
    2^{n-1}
    $$

  • 表示范围：与补码相同，
    $$
    [-2^{n-1},\ 2^{n-1}-1]
    $$

  • 特殊值（n位）：

    • $$
      [-2^{n-1}]_{\text{移}} = 00\ldots 00
      $$

    • $$
      [0]_{\text{移}} = 10\ldots 00
      $$
      （唯一）

习题（选择题）

  1. 对真值0表示形式唯一的编码方式是（B. 补码和移码）

  2. 108对应的十六进制形式是（A. 6CH）

  3. 下列数中最小的数是（计算比较）

  4. 由
    $$
    [X]{\text{原}}求[-X]{\text{原}}
    $$
    的做法是（B. 符号位取反，其他各位不变）

  5. 由
    $$
    [X]{\text{补}}求[-X]{\text{补}}
    $$
    的做法是（D. 连同符号位一起取反，末位+1）

  6. 关于补码和移码关系的叙述错误的是（B. 0的补码和移码表示相同）

  7. 给定$X=-01001010B$，机器数10110110B，判断编码方式（C. 补码）

  8. 8位补码，-26的机器数为（C. E6H）

  9. 9BH对应的十进制数为（C. -101）

2.2 整数的表示

2.2.1 无符号整数的表示

  • 所有位均表示数值，没有符号位。

  • n位表示范围：
    $$
    [0,\ 2^n-1]
    $$

2.2.2 带符号整数的表示

  • 现代计算机采用补码表示带符号整数，原因：
    • 0的表示唯一。
    • 加减运算统一为加法，符号位与数值位一起运算。
    • 可多表示一个最小负数。

2.2.3 零扩展与符号扩展

  • 零扩展：高位补0（适用于无符号数）。
  • 符号扩展：高位补符号位（适用于有符号数补码表示）。
    • 正数补0，负数补1。

2.2.4 C语言中的整数类型

基本类型（32位环境）

类型 位数 默认 范围
char 8 无符号 0~255
short 16 有符号 $-2^{15}\sim 2^{15}-1$
int 32 有符号 $-2^{31}\sim 2^{31}-1$
unsigned 前缀 同长度 无符号 相应范围

类型转换

  • 同长度转换（如有符号↔无符号）：不改变机器数，只改变解释方式。
  • 不同长度转换：
    • 低→高：有符号数进行符号扩展，无符号数进行零扩展。
    • 高→低：直接截断高位。

习题

  1. -1029的16位补码十六进制为（D. FBFBH）
  2. short si=-8196; unsigned short usi=si; 则usi的值为（D. 57340）
  3. X=-1011的8位补码为（C. 11110101）
  4. 8位补码$[x]{\text{补}}$，求$[-x]{\text{补}}$时会发生溢出的为（C. 10000000）
  5. 8位移码$[x]{\text{移}}$，求$[-x]{\text{移}}$时会发生溢出的为（A. 11111111）
  6. 通常表示主存地址的是（D. 无符号数）
  7. unsigned short x=65530; unsigned int y=x; y的机器数为（B. 0000 FFFAH）
  8. 由3个“1”和5个“0”组成的二进制补码，能表示的最小整数是（A. -126）
  9. short si=-32767; unsigned short usi=si; usi的值为（D. 32769）
  10. 冯·诺依曼结构计算机数据采用二进制编码的原因（D. I、II和III）
  11. unsigned short usi=65535; short si=usi; si的值为（A. -1）

2.3 运算方法和运算电路

2.3.1 定点数的移位运算

逻辑移位

  • 将操作数视为无符号数。
  • 左移：高位丢弃，低位补0；若移出1则溢出。
  • 右移：低位丢弃，高位补0。

算术移位

  • 将操作数视为有符号数（补码）。
  • 左移：高位丢弃，低位补0；若移位前后符号位不同则溢出。
  • 右移：低位丢弃，高位补符号位。

2.3.2 定点数的运算

2.3.2.1 补码加减运算

运算公式
  • $[x+y]{\text{补}} = [x]{\text{补}} + [y]_{\text{补}} \mod 2^n$
  • $[x-y]{\text{补}} = [x]{\text{补}} + [-y]_{\text{补}} \mod 2^n$
  • 求$[-y]{\text{补}}$：将$[y]{\text{补}}$各位取反，末位加1。
加减运算部件
  • 输入：$X$、$Y$（n位补码），$Sub$（1位，0加1减）。
  • 通过多路选择器，当$Sub=0$时，直接传$Y$，进位$Cin=0$；当$Sub=1$时，传$Y$的反码，$Cin=1$。
  • 输出：和$F$，以及四个标志位。
标志位
  • OF（溢出标志）：$OF = C_n \oplus C_{n-1}$（最高位进位与次高位进位异或）。
  • SF（符号标志）：$SF = F_n$（结果的最高位）。
  • CF（进位/借位标志）：$CF = C_{in} \oplus C_{out}$（对无符号数有意义）。
  • ZF（零标志）：$ZF = (F == 0)$。
溢出判断
  • 一位符号位法：$V = X_s Y_s \overline{F_s} + \overline{X_s},\overline{Y_s} F_s$
  • 进位法：$V = C_n \oplus C_{n-1}$
  • 双符号位法：用两位符号位，$00$正无溢出，$01$正溢出，$10$负溢出，$11$负无溢出；$V = S_{s1} \oplus S_{s2}$。
比较大小
  • 无符号数：
    • $ZF=1$ → $A=B$
    • $ZF=0, CF=0$ → $A>B$
    • $ZF=0, CF=1$ → $A<B$
  • 有符号数：
    • $ZF=1$ → $A=B$
    • $ZF=0, OF \oplus SF = 0$ → $A>B$
    • $ZF=0, OF \oplus SF = 1$ → $A<B$

2.3.2.2 定点数的乘法运算（原码）

基本原理
  • 符号位：两乘数符号位异或。
  • 数值部分：两绝对值相乘（无符号数乘法）。
计算机实现（迭代算法）
  • 初始化：部分积$P_0=0$，乘数$Y$，被乘数$X$（绝对值）。
  • 重复n次：
    • 若$Y$的最低位为1，则$P_{i+1} = (P_i + X) >> 1$（右移一位）；
    • 若$Y$的最低位为0，则$P_{i+1} = P_i >> 1$；
    • $Y$同步右移，移出的位丢弃。
  • 最终$P$为乘积的高n位，$Y$为低n位。
溢出判断
  • 有符号数：乘积高n位全相同且等于低n位的符号位，则未溢出。
  • 无符号数：乘积高n位全0，则未溢出。

习题（2.3部分）

  1. 8位无符号数10010101右移一位得（A. 0100 1010）
  2. 8位补码10010101右移一位得（D. 1100 1010）
  3. 8位补码10010101扩展为16位十六进制（C. FF95H）
  4. ALU核心部件是（C. 加法器）
  5. x=69,y=38,加法器输入及进位（A. 01000101、00100110、0）
  6. x-y运算，输入及进位（D. 01000101、11011010、1）
  7. x=-69,y=-38,x+y输入及进位（A. 10111011、11011010、0）
  8. x=-69,y=-38,x-y输入及进位（C. 10111011、00100101、1）
  9. x=63,y=-31,x+y机器数及OF（B. 20H、0）
  10. [x]=F5H,[y]=7EH,x+y及OF（A. 115、0）
  11. 7E5H+4D3H=（C. CB8H）
  12. 移位运算说法正确的（D. I、II、III）
  13. x=127,y=-9,z=x+y结果（D. x=0000007FH, y=FFF7H, z=00000076H）
  14. 8位补码乘法溢出判断（B. r2×r3）
  15. [x]=11110100,[y]=10110000,z=2x+y/2机器数为（D. 溢出）
  16. x=103,y=-25,补码运算溢出的是（C. x-y）
  17. x=FFFFFFDFH,y=00000041H,x-y机器数（C. x=-33,y=65,机器数为FFFF FF9EH）
  18. 11011000逻辑右移1位和算术右移1位得（B. 01101100、11101100）
  19. x=FFFFFFFFH,y=FFFFFFF0H,x-y的CF和OF（A. CF=0, OF=0）

2.4 浮点数的表示和运算

2.4.1 浮点数的表示

表示格式

  • 任意实数$X = (-1)^S \times M \times R^E$

    • $S$：符号位（0正1负）
    • $M$：尾数（定点小数，通常用原码）
    • $E$：阶码（定点整数，通常用移码）
    • $R$：基数（通常为2）

  • 浮点数格式由$S$、$E$、$M$的位数和编码方式决定。

  • 阶码位数决定表示范围，尾数位数决定精度。

表示范围

  • 数轴对称，有上溢区、下溢区。
  • 机器零：尾数为0时，通常将阶码也置0来唯一表示0。

规格化

  • 目的：使尾数最高位不为0，尽可能保留有效数字。
  • 左规：尾数最高位为0时，尾数左移，阶码减1（可多次）。
  • 右规：尾数有效位进到小数点前时，尾数右移，阶码加1（最多一次）。

2.4.1.3 IEEE754标准

基本格式

  • 单精度（float）：1位符号 + 8位阶码 + 23位尾数，偏置值127。
  • 双精度（double）：1位符号 + 11位阶码 + 52位尾数，偏置值1023。

尾数隐藏位

  • 规格化浮点数尾数最高位恒为1，IEEE754将其隐藏，因此实际尾数有效位为1.f（f为23/52位小数部分）。
  • 真值：$(-1)^s \times 1.f \times 2^{e - \text{bias}}$。

阶码范围

  • 单精度：e=1~254（全0和全1有特殊含义）。
  • 双精度：e=1~2046。

特殊值

情况 符号 阶码 尾数 值
+0 0 0 0 0
-0 1 0 0 -0
+∞ 0 全1 0 +∞
-∞ 1 全1 0 -∞
NaN 0/1 全1 ≠0 NaN（非数）
非规格化数 0/1 0 ≠0 $\pm 2^{-126}\times 0.f$（单精度）

示例

  • 将-0.75转换为IEEE754单精度：$(-0.75)_{10} = (-0.11)_2 = -1.1\times 2^{-1}$，则$s=1$，$e=127-1=126=01111110_2$，$f=1000…0$，结果为$1\ 01111110\ 1000…0$，即BF400000H。
  • 求COA00000H的值：二进制$1\ 10000001\ 0100000…0$，$e=129$，$E=129-127=2$，$f=0.01_2$，$1.f=1.01_2=1.25$，真值$=-1.25\times 2^2=-5$。

2.4.2 浮点数的加减运算

步骤

  1. 对阶：小阶向大阶看齐，尾数右移，阶码增加，右移位数=阶差。
  2. 尾数加减：隐藏位、保留位一起参与运算。
  3. 规格化：
    • 若尾数出现进位到整数位（如$1.b… + 1.b… = 1b…$），则右规一次。
    • 若尾数出现$0.0…01b…$，则左规直到最高位为1。
  4. 舍入：对阶或右规时移出的低位保留，运算后按规则舍入（0舍1入、恒置1、截断）。
  5. 溢出判断：阶码超出范围则溢出（上溢置无穷，下溢置0）。

注意

  • 右规前需检查阶码是否已为全1，避免上溢。
  • 左规前需检查阶码是否已为全0，避免下溢。

2.4.3 C语言中的浮点数类型

  • float ↔ double：转换可能引起精度变化。
  • int → float：范围可能增大，精度可能下降（24位有效数字 vs 31位）。
  • float → int：截断小数部分，可能溢出。

2.4.4 数据的大小端存储

  • 大端：低地址存高位字节（MSB）。
  • 小端：低地址存低位字节（LSB）。

例：32位整数01234567H存储：

  • 大端：地址递增存放01,23,45,67
  • 小端：地址递增存放67,45,23,01

习题（2.4部分）

  1. IEEE754单精度41A4C000H对应十进制（20.59375）
  2. x=-8.25的IEEE754单精度表示为（C104 0000H）
  3. float能表示的最大正整数是（$2^{127}-2^{103}$）
  4. C6400000H对应的数值（$-1.5\times 2^{13}$）
  5. (f1)=CC900000H, (f2)=B0C00000H，x和y关系（x<y且符号相同）
  6. 小端方式，double型1122334455667788H存放在0000 8040H开始，8046H存放（77H）
  7. IEEE754单精度最小规格化正数是（$1.0\times 2^{-126}$）
  8. 小端方式，int i=0对应C745FC00000000，则int i=-64对应（C745FCFFFFC0）
  9. 机器数为C8000000H，可能的值（$-7\times 2^{27}$）
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